Traitement numérique du signal

Le traitement numérique du signal étudie les techniques de traitement, d'analyse et d'interprétation des signaux numérisés.



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Le traitement numérique du signal étudie les techniques de traitement (filtrage, compression, etc), d'analyse et d'interprétation des signaux numérisés. À la différence du traitement des signaux analogiques qui est réalisé par des systèmes en électronique analogique, le traitement des signaux numériques est réalisé par des machines numériques (des ordinateurs ou des circuits dédiés).
Ces machines numériques donnent accès à des algorithmes puissants, tel le calcul de la transformée de Fourier. Les signaux naturels n'étant le plus souvent pas numériques, il faut les numériser par un convertisseur analogique-numérique.

Avantages du traitement numérique

En comparaison du traitement du signal analogique, le traitement numérique présente un certain nombre d'avantages :

Ces avantages sont tempérés par quelques limites :

Spécificités analytiques du traitement numérique

Tandis qu'un signal analogique est représentable mathématiquement par une fonction continue d'une variable continue (par exemple, modélisation d'une tension électrique variable au cours du temps), un signal numérique est une suite de nombres. Il faut par conséquent des outils mathématiques différents pour les manipuler. Citons :

Conversion analogique-numérique

Puisque les signaux naturels sont presque tous des signaux continus et que les circuits numériques ne manipulent que des données discrètes, il faut en premier lieu transformer ces signaux avant de pouvoir leur appliquer un traitement numérique. Cette transformation se nomme la digitalisation ou numérisation ; elle est réalisée par un convertisseur analogique-numérique. Cette opération comprend deux actions :

Théorème de Shannon-Nyquist

L'échantillonnage transforme un signal continu S(t)\, en un signal discret S_i\, composé de plusieurs mesures du signal continu, relevées à des instants successifs scindés par un pas temporel constant. Ainsi : S_i = S(i \cdot T_e )\,T_e\, est la période d'échantillonnage. F_e =1/T_e\, est la fréquence d'échantillonnage.

D'après le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, un signal dont les composantes fréquentielles sont inférieures à F_e/2\, est échantillonné de façon réversible : il est envisageable de reconstituer le signal continu à partir des valeurs discrètes. La fonction interpolante utilisée à cette fin est le sinus cardinal (noté sinc)  :

S(t)=\sum_i S_i \cdot \operatorname{sinc}\left( \pi (\frac{t}{T_e}-i) \right)

De façon à éviter les artéfacts de «repliements de spectre», il est indispensable d'éliminer les composantes fréquentielles au-delà de F_e/2\,. Cela est réalisé par un filtre (analogique), nommé filtre anticrènelage, possédant généralement une coupure raide (d'ordre élevé).

Filtrage linéaire

Un filtre calcule un signal discret y(n)\, à partir d'un signal discret x(n)\,. Chaque échantillon de y(n)\, est une combinaison linéaire d'échantillons de x(n)\,.

Un filtre est dit causal si l'échantillon y(n)\, ne dépend exclusivement que des valeurs de x(i)\, pour i<n\,, c'est-à-dire des valeurs antérieures. C'est le cas de l'ensemble des dispositifs réels, qui ne peuvent pas anticiper les valeurs futures. Cependant, grâce à la mémorisation des signaux rendue envisageable par la numérisation, on peut réaliser des réponses impulsionnelles d'apparence non-causale.

Un filtre linéaire et invariant est caractérisé par sa réponse impulsionnelle, ie. la réponse à une entrée ne comportant qu'une valeur non nulle. La nature de cette réponse définit le filtre qui peut être à réponse impulsionnelle finie (RIF) ou illimitée (RII). La sortie d'un filtre est la convolution de l'entrée par la réponse impulsionnelle. Cette convolution donne un algorithme de calcul d'un filtre RIF. Cette convolution peut être aussi calculée par transformée de Fourier rapide. Pour réaliser des filtres de type RII, on utilise des techniques récursives (la sortie du filtre dépend des échantillons de sortie qui ont précédé).

La transformée en Z de la réponse impulsionnelle est la fonction de transfert du filtre. Sa factorisation sert à décrire un filtrage par une équation aux différences discrètes. La transformée de Fourier — c'est-à-dire la transformée en Z pour z = eˆ{\,j2\pi\lambda}\, — de la réponse impulsionnelle est la «réponse en fréquence» du filtre : elle sert à passer dans un domaine spectral. \lambda\, est la fréquence réduite : \lambda  = F/Fe\,.

Le calcul des cœfficients d'un filtre pour obtenir une réponse en fréquence spécifiée est nommé «synthèse du filtre.»

Spectre unilatéral

Tout signal périodique de période T0 = 1 / F0 se décompose en série de Fourier : S(t)=A_0 + \sum_{n=1}ˆ\infty A_n   cos(2\pi\cdot n\cdot F_0\cdot t) +  \sum_{n=1}ˆ\infty  B_n sin(2\pi\cdot n\cdot F_0\cdot t ) Ce qui conduit directement au spectre discret du signal.

Analyse spectrale

La transformée de Fourier discrète (TFD) est utilisée pour calculer numériquement le spectre d'un signal, c'est-à-dire sa représentation fréquentielle. L'utilisation de cette TFD nécessite cependant quelques précautions. D'une part, parce qu'elle n'est applicable que sur un signal de durée limité : le signal doit par conséquent fréquemment être tronqué, ce qui entraîne la naissance d'ondulations parasites sur le spectre — elles peuvent être atténuées par les techniques d'apodisation. D'autre part, parce que le spectre obtenu est lui-aussi échantillonné, ce qui rend son interprétation plus complexe. Une interpolation de ce spectre peut être souhaitable.

En pratique, on utilise pour réaliser la transformée de Fourier discrète un algorithme connu sous le nom de transformée de Fourier rapide (FFT pour Fast Fourier Transform en anglais). Il consiste à ordonner astucieusement les calculs de façon à diminuer le nombre total de multiplications nécessaires. La complexité de l'algorithme passe alors de N2 à N. log2 (N) , N étant le nombre de points d'acquisition composant le tableau de valeurs.

Mise en œuvre

Le traitement de signaux déjà numérisés peut se faire sur des ordinateurs d'usage général. Dans les applications de traitement en temps réel, des microprocesseurs spécialisés sont utilisés (DSP). Pour plus de rapidité, des fonctions spécifiques sont réalisées directement sous la forme de circuits intégrés (ASIC) ou implantées sur des composants en logique programmable (FPGA).

Signal causal

s (t) = 0 pour t < 0

Un signal est dit causal si ce signal est nul lorsque t<0

Par opposition, un signal non-causal est défini sur la totalité des réels : le signal existe même pour t<0.

Bibliographie

Voir aussi

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