Système invariant

Un système invariant par décalage temporel est un dispositif dont la sortie ne dépend pas explicitement du temps.



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Un système invariant par décalage temporel est un dispositif dont la sortie ne dépend pas explicitement du temps.

Définition

Si le signal d'entrée x(t)\ produit une sortie y(t)\,, tandis quelque que soit l'entrée décalée temporellement x(t + \delta)\ , la sortie est elle aussi décalée y(t + \delta)\ .

Cette propriété peut être satisfaite (mais pas obligatoirement) si la fonction de transfert du dispositif n'est pas une fonction du temps, si ce n'est dans l'expression de l'entrée et de la sortie.

Définition équivalente : Si le dispositif est invariant, alors le bloc du dispositif est commutatif avec un bloc délai arbitraire.

Exemples

Exemple basique

Pour savoir comment déterminer si un dispositif est invariant, considérons les deux dispositifs :

Comme le dispositif A dépend explicitement du temps t en dehors de x(t)\, et y(t)\,, alors le dispositif n'est pas invariant. Le dispositif B, lui, ne dépend pas explicitement du temps t et est par conséquent invariant.

Exemple formel

Une preuve plus formelle de l'invariance (ou non) des dispositifs A et B ci dessus est présentée ici. Pour effectuer cette preuve, la seconde définition va être utilisée.

Système A :

A partir de l'entrée avec un décalage x_d(t) = \,\!x(t + \delta)
y(t) = t\, x_d(t)
y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)
Maintenant retardons la sortie par δ
y(t) = t\, x_d(t)
y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)
Clairement y_1(t) \,\!\ne y_2(t), c'est pourquoi le dispositif n'est pas invariant.

Système B :

A partir de l'entrée avec un décalage x_d(t) = \,\!x(t + \delta)
y(t) = 10 \, x_d(t)
y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)
Maintenant retardons la sortie par \,\!\delta
y(t) = 10 \,x_d(t)
y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)
Clairement y_1(t) = \,\!y_2(t), c'est pourquoi le dispositif est invariant

Exemple abstrait

Notons l'opérateur retard par \mathbb{T}_rr est la quantité par laquelle le paramètre vectoriel doit être retardé. A titre d'exemple, le dispositif "avance de 1" :

x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)

peut être représenté par la notation abstraite :

\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}

\tilde{x} est la fonction donnée par

\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

le dispositif produisant la sortie décalée

\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

Donc \mathbb{T}_1 est un opérateur qui avance l'entrée vectorielle de 1.

Supposons que nous représentions le dispositif par un opérateur \mathbb{H}. Ce dispositif est invariant s'il commute avec l'opérateur retard, c'est-à-dire :

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r  \,\, \forall \, r

Si l'équation du dispositif est donnée par :

\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}

Alors c'est un dispositif invariant si on peut appliquer l'opérateur \mathbb{H} sur \tilde{x} suivi de l'opérateur retard \mathbb{T}_r, ou appliquer l'opérateur retard \mathbb{T}_r suivi de l'opérateur du dispositif \mathbb{H}, les 2 calculs produisant un résultat équivalent.

Appliquons l'opérateur du dispositif en premier :

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r

Appliquer l'opérateur retard en premier donne :

\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r

Si le dispositif est invariant, alors

\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r

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