Stabilité EBSB

En électrotechnique, plus particulièrement en traitement du signal et en automatique, la stabilité EBSB est une forme de stabilité pour les signaux et les dispositifs.



Catégories :

Automatique - Théorie du signal

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  • Stabilité EBSB ⇔ axe imaginaire ⊂ domaine de convergence....... Cette solution est stable (c'est-`a- dire {h (n) } de module sommable) si et uniquement si Az (z)...... Exemple 6.1 (Bruit de quantification) Considérons le système de ... (source : perso.telecom-paristech)
  • correspond une sortie bornée, porte le nom de stabilité entrée bornée / sortie bornée (EBSB). Les filtres convolutionnels sont par conséquent stables EBSB.... (source : sig.enst)

En électrotechnique, plus particulièrement en traitement du signal et en automatique, la stabilité EBSB est une forme de stabilité pour les signaux et les dispositifs. EBSB veut dire Entrée Bornée/Sortie Bornée. Si un dispositif est stable EBSB, alors la sortie est bornée quelle que soit l'entrée bornée du dispositif.

Condition dans le domaine temporel

Condition indispensable et suffisante en temps continu

En temps continu, un dispositif est stable EBSB si et uniquement si sa réponse impulsionnelle est totalement intégrable, i. e. que sa norme \mathcal{L}ˆ1 existe.

\int_{-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(t)\right|dt} = \| h \|_{1} < \infty

Condition indispensable et suffisante en temps discret

En temps discret, un dispositif est stable EBSB si et uniquement si sa réponse impulsionnelle est totalement sommable, i. e. que sa norme \ellˆ1 existe.

\sum_{n=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} < \infty

Démonstration

démonstration de la condition nécessaire

Prenons tout simplement x(t)=\operatorname{signe}(h(-t))

Alors y(0)=\int_{-\infty}ˆ{\infty}h(t)x(-t)dt=\int_{-\infty}ˆ{\infty} |h(t)|dt

Or y (0) doit être borné, par conséquent \int_{-\infty}ˆ{\infty} |h(t)|dt l'est aussi.

démonstration de la condition suffisante

Étant donné un dispositif linéaire invariant (SLI) avec une réponse impulsionnelle h(n)\ la relation entre l'entrée x(n)\ et la sortie y(n)\ est

y(n) = h(n) * x(n)\

* est une produit de convolution. Alors à cause de la définition de la convolution, il vient :

y(n) = \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{h(k) x(n-k)}

En notant \| x \|_{\infty} la valeur maximale de x(n)\ , i. e. sa norme illimitée.

\left|y(n)\right| = \left|\sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{h(n-k) x(k)}\right| \le \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(n-k)\right| \left|x(k)\right|} (par l'inégalité triangulaire)
\le \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(n-k)\right| \| x \|_{\infty}}= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(n-k)\right|}
= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(k)\right|}

Si h(n)\ stable EBSB, alors \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(k)\right|} = \| h \|_1  < \infty et

\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}ˆ{\infty}{\left|h(k)\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1

Donc si \| x \|_{\infty} < \infty (i. e. il est borné) alors \left|y(n)\right| est aussi borné parce que \| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty.

La démonstration en temps continu suit les mêmes arguments.

Condition dans le domaine fréquentiel

Signal continu

Soit un dispositif à temps continu causal à fonction de transfert rationnelle. Le domaine de convergence de sa transformée de Laplace est l'ouvert à la droite de la ligne verticale dont l'abscisse est la partie réelle du plus grand pôle. (plus grand veut dire ici que la partie réelle du plus grand pôle est plus grande que la partie réelle de n'importe quel autre pôle du dispositif). C'est à dire :

<img class= est nommé abscisse de convergence.

Prenons cette relation en zero :

|H(0)|=\left|\int_0ˆ\infty h(t)dt\right| \le \int_0ˆ\infty |h(t)dt|

La condition dans le domaine temporel impose que cette dernière intégrale soit bornée, c'est-à-dire que H (0) existe. Donc, 0 est dans le domaine de convergence de H (p), ce qui veut dire toujours que \sigma\ est strictement négatif.

Par conséquence, un SLI discret continu à fonction de transfert rationnelle est stable EBSB si et uniquement si l'ensemble des pôles se situent dans la partie gauche du plan complexe, c'est-à-dire à partie réelle strictement négative.

Signal discret

Soit un dispositif à temps discret causal à fonction de transfert rationnelle. Le domaine de convergence de sa transformée en Z est l'ouvert hors du cercle dont le rayon est le module du pôle de plus grand module. C'est à dire :

<img class=

La condition dans le domaine temporel impose que cette dernière somme soit bornée, c'est-à-dire que H (1) existe. Donc, 1 est dans le domaine de convergence de H (z), ce qui veut dire toujours que z_0\ est strictement inférieur à 1.

Par conséquence, un SLI discret causal à fonction de transfert rationnelle est stable EBSB si et uniquement si l'ensemble des pôles sont inclus dans le cercle unité du plan complexe, c'est-à-dire de module strictement inférieur à 1.

Critères de Stabilité

Pour déterminer si un dispositif physique représenté par un schéma-bloc est stable ou non, on peut utiliser plusieurs méthodes ou plusieurs critères. Il existe 2 types de critères : les critères numériques (comme celui de Routh par exemple) ou les critères graphiques (comme le critère du Revers ou le critère de Nyquist). Ces critères permettent seulement de déterminer si le dispositif est stable ou non mais ils n'indiquent pas le degré de stabilité (c'est-à-dire si le dispositif est plus ou moins stable). Pour apprécier ce fameux dégré de stabilité, on est amené à utiliser d'autres outils tels que les marges de phase et les marges de gain ou le facteur de résonance par exemple.

lien pour l'explication du critère de Routh : Polynôme de Hurwitz

Voir aussi

  • Automatique
  • Diagramme de Nyquist

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