Quantification

En traitement du signal, la quantification est le procédé qui permet d'approximer un signal continu par des valeurs d'un ensemble discret d'assez petite taille.



Catégories :

Traitement numérique du signal - Compression d'image

Définitions :

  • L'image est en fait découpée en pixels, puis on mesure le niveau du signal RVB dans chaque pixel.... (source : laphotonumerique.free)
  • Définition : • Lors de la numérisation de données analogiques, la quantification corrrespond à la valeur des échantillons en code binaire.... (source : forum.m4ng)

En traitement du signal, la quantification est le procédé qui permet d'approximer un signal continu (ou à valeurs dans un ensemble discret de grande taille) par des valeurs d'un ensemble discret d'assez petite taille.

L'application la plus courante de la quantification est la conversion analogique-numérique mais elle doit le développement de sa théorie aux problèmes de quantification pour la compression de signaux audio ou image.

L'objectif de la quantification est , à partir d'une valeur d'entrée donnée d'un espace E, de déterminer la valeur la plus proche dans la totalité F d'arrivée. Dans le cas d'une conversion analogique-numérique, la totalité E est continu, on peut prendre E=\mathbb{R} et la totalité d'arrivée est discret, de taille finie. Cet ensemble est le plus souvent nommé dictionnaire.

Exemple de quantification (en rouge) d'un signal continu

Quantification scalaire

On parle de quantification scalaire quand le dictionnaire est de dimension 1, c'est-à-dire ses valeurs sont des scalaires. La quantification scalaire est la forme la plus simple de quantification, le cas où le dictionnaire est un espace de dimension supérieure à 1 est nommé la quantification vectorielle.


Définition : Un quantifieur scalaire de taille N est une application Q de \mathbb{R} dans un ensemble discret fini F de dimension 1 et de taille n, F=\{\hat{x_1}\ldots \hat{x_n}\}, Q: \mathbb{R} \to F .

On notera \hat{x}=Q(x)

Un quantifieur peut se définir comme un ensemble d'intervalles de l'espace de départ, [tk;tk + 1], où les ti sont nommés niveaux de décision. À chaque intervalle [tk;tk + 1], on fait correspondre une seule valeur de l'espace d'arrivée, rk, nommée niveau de reconstruction. La forme typique d'un quantifieur est par conséquent une fonction en escalier.

En général, la largeur d'un intervalle n'est pas constante : q_k=t_{k+1}-t_k\ne cste. Cette largeur est nommée le pas de quantification.

En général, les niveaux de reconstruction ne sont pas non plus uniformément répartis : r_{k+1}-r_k\ne cste.

Quantifieur scalaire uniforme

Quantificateur uniforme avec un pas de quantification de 1

C'est le type de quantifieur le plus simple, où les intervalles sont de longueur constante.

Le pas de quantification est par conséquent fixe : tk + 1tk = q pour tout k.

Les niveaux de reconstructions sont aussi uniforméments répartis. Il est quelquefois nommé quantifieur scalaire symétrique.

Quantifieur à zone morte

C'est un type spécial de quantifieur, où l'intervalle autour de zéro est plus large. La zone morte ou dead-zone qualifie par conséquent cet intervalle autour de zéro, autorise la totalité des valeurs de source reconnues comme petites, d'être quantifiées à une seule même valeur (généralement zéro).

Ce type de quantifieur est par conséquent non-uniforme (ou asymétrique). Cependant, si la totalité des autres intervalles sont uniformes, on qualifie le plus souvent ce type de quantifieur d'uniforme à zone morte.

Ce type de quantifieur est particulièrement utilisé en compression d'image, où suite à une transformation de l'image par ondelette ou DCT, il existe de très nombreuses valeurs autour de zéro, non-significatives, qui pénaliseraient la suite du processus de codage. Typiquement, les valeurs comprises dans la zone morte sont quantifiées à zéro, et ne sont par conséquent pas reconnues par le codage entropique. Il existe alors de très nombreux cœfficients quantifiés à zéro, ce qui permet d'utiliser des méthodes comme le RLE.

La norme JPEG 2000 utilise un quantifieur scalaire uniforme à zone morte.

Autres quantifieurs scalaires non uniformes

Généralement, on peut répartir les niveaux de quantification de l'ensemble des façon envisageables.

Pour un signal de parole, dont la majorité des valeurs sont autour de zéro, on utilisera un quantifieur avec énormément de niveaux autour de zéro et peu de niveaux ailleurs.

Bruit de quantification

La quantification est une opération destructrice d'information. Elle introduit une erreur (ou un bruit) entre le signal quantifié et le signal source. Cette erreur est le plus souvent mesurée par la distance suivante :

d(x,\hat{x})=|x-\hat{x}|ˆ2

Cette erreur de quantification est aussi nommée distorsion. En pratique, on utilise plutôt l'espérance de la distorsion, en considérant la totalité du signal comme une suite de réalisations d'une variable aléatoire X. On obtient alors la distorsion moyenne par :

D=E\left[d(X,Q(X)\right]

Si la distance d est celle définie plus haut, D est alors l'erreur quadratique moyenne

Pour mesurer l'erreur de quantification uniforme nous avons : E est un échelon dans E=2Vmax /2puissance N (N le nombre de mot binaire) d'ou V (erreur) =E /2*racine3 -> V=Vmax /2puiN*racine 3

Pas de discrétisation

Un signal analogique peut avoir des variations illimitétésimales. La quantification correspondant à des niveaux discrets, il en résulte une perte d'information, pour peu qu'on puisse mesurer des variation inférieures aux longueurs d'intervalle de quantification avec des moyens analogiques.

Le signal quantifié est généralement un signal électrique, avec un convertisseur analogique-numérique — s'il est d'une autre nature, on le transforme en signal électrique, avec un transducteur. Appelons ΔV l'amplitude maximale du signal en tension, et δV la plus petite variation du signal numérisé, le pas de discrétisation. Dans le cas d'une quantification uniforme, si on a N seuils, on a alors :

δV = ΔV/ (N - 1).

En général, N est grand pour que la quantification soit «fine», on peut par conséquent écrire :

δV ≃ ΔV/N.

En général, le signal numérisé est codé en base deux pour un stockage informatique (voir l'article Format de données). La variation minimale δV correspond alors au bit de poids faible ; δV est de fait souvent désigné par le sigle LSB, pour least significant bit. Si le signal est codé sur n bits, on a alors

N = 2n

et

δV (LSB) = ΔV/2n

Quantifieur scalaire optimal

Le quantifieur optimal est celui qui minimise la distorsion.

Le quantifieur scalaire uniforme est optimal si la source est uniforme. Les signaux audio ou image ne peuvent cependant être reconnus comme des sources uniformes, ce qui a conduit à la recherche d'algorithmes servant à générer un quantifieur optimal, pour tous types de sources. Ce quantifieur est donné par l'algorithme de Lloyd-Max, basé sur les conditions d'optimalités définies par Lloyd en 1957.

Voir aussi

Références

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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