Phase-shift keying

Le Phase-shift keying sert à désigner une famille de formes de modulations numériques qui ont toutes pour principe de véhiculer de l'information binaire via la phase d'un signal de référence, et exclusivement par ce biais.



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Modulation numérique du signal

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  • QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) est un algorithme de modulation de phase.... modulation de fréquence où la phase de l'onde porteuse est modulée bits pour. (source : topbits)
  • La modulation QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) est une modulation `a 4 états... On peut par conséquent coder des symboles de 2 bits. La phase du signal modulé... (source : tzoum.ifrance)

Le Phase-shift keying (ou PSK, soit «modulation par déplacement de phase») sert à désigner une famille de formes de modulations numériques qui ont toutes pour principe de véhiculer de l'information binaire via la phase d'un signal de référence (porteuse), et exclusivement par ce biais.

Comme pour toute technique de modulation numérique, la phase en question ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Chacune de ces valeurs représente un unique nombre binaire, dont la taille (et par conséquent la quantité d'information transmise) dépend du nombre de valeurs envisageables pour la phase. Le plus souvent, pour une modulation PSK donnée, les nombres binaires représentés sont tous de même taille.

Les formes de PSK les plus utilisées sont la BPSK (ou 2-PSK : deux valeurs de phase envisageables), la QPSK (ou 4-PSK : quatre valeurs de phase envisageables) et la DPSK (Differential-PSK : où l'information est contenue non pas dans une valeur absolue de phase, mais dans le déphasage entre deux signaux successifs)

Définitions

Pour déterminer les erreurs de manières mathématiques, voici les définitions utiles pour la suite :

Binary phase-shift keying (BPSK)

Exemple de diagramme de constellation pour BPSK

BPSK est la forme la plus simple du PSK. Elle utilise deux phases qui sont scindées de 180° ; on l'appelle aussi 2-PSK. Cette modulation est la plus robuste de l'ensemble des PSK car il faut une grande déformation du signal pour que le démodulateur se trompe sur le symbole reçu. Cependant on ne peut moduler qu'un seul bit par symbole (voir le schéma), ce qui est un inconvénient pour les applications qui nécessitent un débit binaire élevé.

Le taux d'erreur binaire du BPSK peut être calculé ainsi :

P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)

Comme il y a un bit par symbole, cela correspond aussi au taux d'erreur de symbole.

Applications

Les données binaires sont fréquemment convoluées avec les signaux suivants :

s_0(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t) pour le "0"
s_1(t) =   \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t + \pi )
              = - \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t) pour le "1"

fc est la fréquence de la porteuse.

Donc le signal peut être représenté par une unique fonction de base :

\phi(t) = \sqrt{\frac{2}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t)

où 0 est représenté par \sqrt{E_b} \phi(t) et 1 est représenté par -\sqrt{E_b} \phi(t). Ceci est évidemment arbitraire.

Une utilisation de cette fonction de base est montrée au moyen du diagramme temporel du signal à moduler en section 3.2 et 3.3. Dans ce diagramme, l'onde de forme du haut correspond à la composante cosinus de la modulation PSK, c'est-à-dire toujours, au signal que le modulateur BPSK produirait. Le train de bits sortant est représenté au-dessus de l'onde de forme (le schéma tout entier correspond à la modulation QPSK)

Quadrature phase-shift keying (QPSK)

Diagramme de constellation pour QPSK (codage gray binaire).

Fréquemment connues sous le nom de 4-PSK ou QPSK, cette modulation utilise un diagramme de constellation à quatre points, à équidistance autour d'un cercle. Avec quatre phases, QPSK peut coder deux bits par symbole, cf schéma code de Gray Cela sert à soit multiplier le débit binaire par deux comparé à un dispositif BPSK tout en désormais la bande passante du signal ou alors de maintenir le débit en réduisant la bande passante utilisée par deux.

Bien que le QPSK puisse être vu comme une modulation en quadrature, il est aussi simple de le considérer comme deux modulations indépendantes. Avec cette interprétation, les bits pairs (ou impairs) sont utilisés pour moduler la composante In-Phase (I), alors que les bits impairs (ou pairs) sont utilisés pour la Quadrature-phase (Q). BPSK est utilisé sur les deux porteuses et peuvent démodulées indépendamment.

La probabilité d'une erreur de bit en QPSK est la même qu'en BPSK :

P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right).

Cependant, avec deux bits par symbole, le taux d'erreur par symbole augmente :

\,\!P_s = 1 - \left( 1 - P_b \right)ˆ2
= 2Q\left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right) - Qˆ2 \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right).

Si le rapport signal-à-bruit est élevé (comme c'est le cas en pratique pour des dispositifs QPSK), la probabilité d'erreur symbole peut être approximée par :

P_s \approx 2 Q \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right )

Comme avec BPSK il y a un problème d'ambiguité sur la phase pour le receveur et l'encodage différentiel de QPSK est fréquemment utilisé en pratique.

Implémentation

L'implémentation de QPSK est plus générale et d'un ordre PSK plus élevé que BPSK. L'écriture des symboles liés au diagramme de constellation en termes de composantes sinus et cosinus est représentée par :

s_i(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T}} \cos \left ( 2 \pi f_c t + (2i -1) \frac{\pi}{4}\right ), i = 1, 2, 3, 4 .

Avec, par conséquent, les quatre valeurs de phases suivantes : π / 4, 3π / 4, 5π / 4 and 7π / 4.

Les deux composantes du signal sont données par les fonctions de base suivantes :

\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T_s}} \cos (2 \pi f_c t)
\phi_2(t) = \sqrt{\frac{2}{T_s}} \sin (2 \pi f_c t)

La fonction de base φ1 (t) donne la composante I ou In-phase et φ2 (t) la composante Q ou Quadrature donnant la possibilité ainsi de représenter les états de phase du signal par quatre points dans le diagramme de constellation (voir ci-dessus).

\left ( \pm \sqrt{E_s/2}, \pm \sqrt{E_s/2} \right ).

Le facteur 1 / 2 indique que la puissance totale est aussi répartie entre les deux porteuses.

En comparant ces expressions avec celles de BPSK, on remarque que QPSK peut s'interpréter comme deux signaux BQSK indépendants. QPSK peut-être implémenté de différentes façons. Le schéma ci-dessous représente la structure et les composantes principales de la transmission d'un signal modulé par QPSK. Les deux symboles correspondant chacun à un état de phase dans le diagramme de constellation BPSK (voir section 2) ne relève pas d'un scindage du débit binaire par porteuse comme montré dans le schéma ci-dessous.

Schéma de principe de la transmission du signal QPSK. Le train binaire entrant est partagé entre les composantes In-phase et Quadrature. Les trains de bits sortant du démultiplexeur sont modulés scindément avec une fonction de base orthogonale. Dans cette implémentation, deux sinusoïdes sont utilisées. Par la suites, les deux signaux ainsi obtenus sont recombinés pour former le signal QPSK. Les encodeurs ne retournent pas de polarité à bit 0 (NRZ). Ceux-ci peuvent-être positionnés devant la source de données binaires, mais ici, ils sont disposés après pour illustrer conceptuellement la différence entre les signaux numériques et analogiques contribuant à la modulation numérique.


Schéma de principe de la réception du signal QPSK. Les filtres peuvent-être remplacés par des corrélateurs. Chaque systèmes de détection utilise une valeur seuil de référence pour déterminer si un 1 ou un 0 est détecté..

Signaux QPSK dans le domaine temporel

Le signal à moduler représenté sur la figure ci-dessous est donné pour un train de bits aléatoire réparti sur l'intervalle de données Data. Les deux ondes porteuses localisées dans la partie supérieure du schéma correspondent respectivement à la composante cosinus (I ou In-phase) et la composante sinus (Q ou Quadrature). Les bits impairs sont assignés à la composante In-phase et les bits pairs à la composante Quadrature (le premier bit est forcé à 1). La résultante de la somme des deux composantes I et Q donne le signal représenté en bas de la figure. Les sauts de phase sur chaque composante peuvent-être reconnus comme des changements de phase PSK survenant au démarrage d'une période binaire. La forme d'onde du haut prise isolément correspond à la description de BPSK donnée en section 2.


Diagramme temporel QPSK. Le train de bits est affiché sous l'axe des temps T. Les deux composantes du signal avec leurs bits d'affectation sont représentées dans la partie haute du diagramme. L'onde du bas correspond à la combinaison des deux composantes. Notez les changements brusques de phase pour certaines valeurs du temps T !

Ici, le mot binaire véhiculé par l'onde de forme est : 1 1 0 0 0 1 1 0.
Comparé à ce mot binaire, on a :

π / 4–QPSK

Diagramme des deux constellations de phase pour π/4-QPSK. Cette figure montre deux constellations semblables avec code Gray décalées par rotation l'une comparé l'autre de 45°.

Cette dernière variante de QPSK utilise deux constellations semblables juxtaposées et décalées par rotation l'une comparé à l'autre de 45° (D'où le nom de π / 4). Le plus souvent, les bits pairs sont utilisés pour sélectionner les points d'une constellation et les bits impairs, les points de l'autre constellation. Dans ce cas, le décalage de phase est au maximum de 180° pour la phase qui correspond à l'un des points et de 135° pour la phase correspondant à l'autre point correspondant. La fluctuation d'amplitude est alors comprise entre OQPSK et QPSK non compensé.

Une des propriétés que possède ce type de modulation est que le signal modulé est représenté dans le plan complexe car il n'y aucune possibilité pour ce dernier de passer par l'origine. Ainsi, la plage de fluctuation du signal est réduite dynamiquement. Cette propriété est particulièrement intéressante pour l'ingénierie des signaux de communication.

D'autre part, π / 4–QPSK se prête aisément à la démodulation et est utilisé, par exemple, dans les dispositifs de multiplexage TDMA pour téléphone mobile.

Le signal à moduler représenté sur la figure ci-dessous est donné pour un train de bits aléatoire réparti sur l'intervalle de données Data. La présentation du diagramme temporel est quasiment la même que pour le QPSK à quatre points vu en section 3.2. Les symboles qui se succèdent sont issus du diagramme des deux constellations ci-contre. Ainsi, le premier symbole (1 1) est pris dans la constellation des points bleus et le second symbole (0 0) est tiré de la constellation des points verts. Notez que l'ordre de grandeur des deux ondes de forme change quand elles basculent entre les constellations pendant que l'amplitude totale du signal reste constante. Les décalages de phase sont entre celles des deux diagrammes temporels.

Diagramme temporel pour π/4-QPSK. Le train de bits est affiché sous l'axe des temps T. Les deux composantes du signal avec leurs bits d'affectation sont représentées dans la partie haute du diagramme. L'onde du bas correspond à la combinaison des deux composantes. Notons que la succession des symboles, à partir des deux constellations, se fait de manière alternative en commençant par un «bleu».

PSK d'ordre supérieur

Diagramme de constellation pour 8-PSK avec code de Gray.

Il est envisageable de construire un diagramme de constellation PSK avec un nombre quelconque de phases. Mais, en pratique, 8-PSK est l'ordre le plus élevé dans l'élaboration d'un tel diagramme. En effet, avec d'avantage de huit phases, la modulation PSK génère un taux d'erreur trop important. Il est indispensable, pour aller au-delà de huit phases, d'utiliser un type de modulation plus complexe comme QAM (quadrature amplitude modulation). Même si un nombre quelconque de phases peut-être employé, le fait que la constellation traite des données binaires veut dire que le nombre de symboles est toujours obtenu à partir d'une puissance de 2 (ce qui représente un nombre égal de bits par symbole).

Pour M-PSK, il n'y a pas d'expression mathématique simple pour calculer le taux d'erreur si M > 4. En effet, l'unique expression générale servant à représenter ce taux est :


P_s = 1 - \int_{\frac{\pi}{M}}ˆ{\frac{\pi}{M}}p_{\Theta_{r}}\left(\Theta_{r}\right)d\Theta_{r}

p_{\Theta_{r}}\left(\Theta_r\right) = \frac{1}{2\pi}eˆ{-2\gamma_{s}\sinˆ{2}\Theta_{r}}\int_{0}ˆ{\infty}Veˆ{-\left(V-\sqrt{4\gamma_{s}}\cos\Theta{r}\right)ˆ{2}/2},
V = \sqrt{r_1ˆ2 + r_2ˆ2},
\Theta_r = \tanˆ{-1}\left(r_2/r_1\right),
\gamma_{s} = \frac{E_{s}}{N_{0}} et
r_1 \sim{} N\left(\sqrt{E_s},N_{0}/2\right) et r_2 \sim{} N\left(0,N_{0}/2\right) sont des variables aléatoires conjointes de Gauss.
Courbes du taux d'erreur binaire pour BPSK, QPSK, 8-PSK et 16-PSK. Le rapport signal/bruit en abscisse est exprimé en décibel.

L'expression mathématique de Ps peut être approximée pour M et Eb / N0 particulièrement élevés par :

P_s \approx 2Q\left(\sqrt{2\gamma_s}\sin\frac{\pi}{M}\right).

La probabilité liée au taux d'erreur binaire pour M-PSK peut-être déterminée étant donné qu'on connaît la cartographie binaire du signal. Cependant, quand le code de Gray est utilisé, l'erreur probabiliste générée par le passage d'un symbole à l'autre est égale à une erreur binaire. Dans ce cas, on a l'approximation :

P_b \approx \frac{1}{k}P_s.

Le graphique de gauche compare le taux d'erreur binaire entre BPSK, QPSK (semblable à BPSK), 8-PSK et 16-PSK. On constate sur ce dernier que les modulations d'ordre supérieur présentent un taux d'erreur plus important. Par contre, ce taux est constaté pour un train de données plus élevé.

Les limites sur taux d'erreur provenant de différents types de modulations numériques peuvent être précisées par application de l'inégalité de Boole au diagramme de constellation du signal.


Voir aussi


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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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