Morphologie mathématique

La morphologie mathématique est une branche des mathématiques présentant des liens forts avec l'algèbre, la théorie des treillis, la topologie et les probabilités.



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Traitement d'image - Géométrie

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  • COURS DE MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE... Traitement d'images (II) ; Quattre démarches en traitement d'image ; Définition de la Morphologie Mathématique... Définition des filtres morphologiques (I) ; Définition des filtres morphologiques (II)... (source : cmm.ensmp)
  • J. Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, . New-York, 1982..... filtre morphologique. Morphologie mathématique – p. 22/31... (source : tsi.enst)
  • Analyse d'images. Morphologie mathématique. Sébastien Mavromatis... Erosion morphologique binaire. *Si à tout x on associe une position B (x) de l'élément... (source : pages-perso.esil.univmed)
Une forme (en bleu), sa dilatation morphologique (en vert), et son érosion morphologique (en jaune) par un élément structurant en forme de diamant

La morphologie mathématique est une branche des mathématiques présentant des liens forts avec l'algèbre, la théorie des treillis, la topologie et les probabilités.

Le développement de la morphologie mathématique a été inspiré par des problèmes de traitement d'images, domaine qui forme son principal champ d'application. Elle apporte surtout des outils de filtrage, segmentation, quantification et modélisation d'images.

Aperçu général

Une des idées de base de la morphologie mathématique est d'étudier ou de traiter un ensemble avec un autre ensemble, nommé élément structurant, qui sert de sonde. A chaque position de l'élément structurant, on regarde s'il touche ou s'il est inclus dans la totalité d'origine. Selon la réponse, on construit un ensemble de sortie. On obtient ainsi des opérateurs de base qui sont assez intuitifs.

Des propriétés qu'on retrouve fréquemment dans les opérateurs morphologiques sont :

Ceci implique surtout une perte d'information ; bien utilisés, ces opérateurs permettent d'éliminer des structures ne respectant pas certains critères, comme par exemple de largeur ou de volume.

La morphologie mathématique s'intéresse aussi aux ensembles ainsi qu'aux fonctions aléatoires.

Le principal domaine d'application de la morphologie mathématique est le traitement d'images. Elle apporte, surtout, des outils de filtrage, de segmentation et de quantification. Depuis son apparition, en 1964, elle connaît un succès grandissant et désormais contribue à garnir la boite à outils de tout traiteur d'images.

Bref historique

La morphologie mathématique a été découverte en 1964 par Georges Matheron et Jean Serra dans les laboratoires de Mines ParisTech. Son développement a toujours été fortement motivé par des applications industrielles. Tout d'abord, il s'est agi de répondre à des problèmes dans le domaine de l'exploitation minière, mais particulièrement vite ses champs d'applications se sont diversifiés : biologie, imagerie médicale, sciences des matériaux, vision industrielle, multimédia, télédétection et géophysique forment quelques exemples de domaines dans lesquels la morphologie mathématique a apporté une contribution importante.

La morphologie mathématique reste un domaine actif de recherche. En témoignent les nombreuses publications scientifiques sur le sujet, mais aussi les symposiums internationaux sur la morphologie mathématique qui ont lieu l'ensemble des deux ou trois ans.

Quelques exemples de thèmes de recherche actuels :

Opérateurs de base

La morphologie mathématique peut être développée dans le cadre abstrait de la théorie des treillis. Cependant, une présentation plus pratique, visant un utilisateur potentiel d'outils de traitement d'images, plutôt qu'un mathématicien, est ici adoptée.

Cas ensembliste

Plaçons nous dans E=\Zˆ2, fréquemment utilisé comme modélisation du support des images binaires à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dans \Rˆd, où d est un entier strictement positif. Soit B un sous-ensemble de E, nommé élément structurant. Si x est un élément de E, alors nous noterons Bx la totalité B translaté de x :

B_x = \{b+x \mid b \in B\}

L'élément structurant joue en quelque sorte le rôle de modèle local, ou de sonde. Il est promené partout sur l'image à traiter, ainsi qu'à chaque position on étudie sa relation avec l'image binaire, reconnue comme un ensemble. Ces relations peuvent être du type «est inclus dans la totalité», ou «touche la totalité», par exemple.

Les éléments structurants les plus classiquement utilisés sont la croix, constituée de l'origine et des quatre points les plus proches, et le carré, constitué de l'origine et des huit points les plus proches. Ces deux éléments structurants correspondent respectivement à deux définitions envisageables du voisinage ou de la connexité de l'image.

On introduit aussi le symétrique d'un ensemble, noté  \breve{B}  :

\breve{B} = \{-b \mid b \in B\}

Si B est symétrique, on a \breve{B}=B.

Dilatation et érosion

Soit X un sous-ensemble de E. La dilatation morphologique avec l'élément structurant B est définie comme la somme de Minkowski : [1]

\delta_B(X) = X \oplus B = \{x + b \mid b \in B, x \in X\} = \cup_{x \in X} B_x

Une autre formulation plus intuitive est :

\delta_B(X) = \{x \mid \breve{B}_x \cap{X} \neq \empty \}

La dilatation morphologique n'est , généralement, pas inversible. L'opération qui en quelque sorte tente de produire l'inverse de la dilatation est l'érosion morphologique :

\epsilon_B(X) = \{x \mid B_x \subset X \}

La dilatation et l'érosion sont les opérateurs de base de la morphologie mathématique. Quasiment l'ensemble des autres peuvent être définis avec ceux-ci, en utilisant des compositions de fonctions et des opérations ensemblistes.

Transformation en tout ou rien

On peut aussi prendre deux éléments structurants A et B pour définir des transformations. Si on demande en chaque point x à A d'être hors de la totalité ainsi qu'à B à l'intérieur on obtient la transformation en tout ou rien (hit or miss transform en anglais)  :

\eta(X) = \{ x \mid A_x \subset Xˆc ; B_x \subset X \}

Ac sert à désigner le complémentaire de la totalité A. Cette transformation sert à détecter certaines configurations précises de pixels. En ajoutant le résultat de la transformation à la totalité d'origine on obtient un épaississement :

\operatorname{ep}(X) = X \cup \eta(X)

en enlevant le résultat de la totalité d'origine on obtient un amincissement :

\operatorname{aminc}(X) = X - \eta(X)

En prenant des suites d'amincissements, on peut diminuer progressivement la totalité d'origine (comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des squelettes homotopiques.

Ouverture et fermeture

La composition d'une dilatation morphologique avec l'érosion par le même élément structurant ne produit pas, généralement, l'identité, mais deux autres opérateurs morphologiques, l'ouverture morphologique :

\gamma_B(X) = X \circ B = \delta_B \epsilon_B (X)

et la fermeture morphologique :

\phi_B(X) = X \bullet B = \epsilon_B \delta_B (X)

L'ouverture peut être caractérisée géométriquement : elle donne l'union de l'ensemble des Bx inclus dans X. Ainsi, la forme de l'élément structurant sert à choisir les structures qui peuvent le contenir.

La fermeture est le dual de l'ouverture : la fermeture du complémentaire d'un ensemble est égale au complémentaire de l'ouverture de cet ensemble.

La fermeture et l'ouverture sont des opérations croissantes et idempotentes, deux propriétés qui définissent les filtres morphologiques. La fermeture est extensive (X \subset \phi(X)), et l'ouverture est anti-extensive (\gamma(X) \subset X).

Extension aux fonctions

Une image à niveaux de gris peut être modélisée comme une fonction de \Zˆ2 dans \Z. Soit f une fonction appartenant à cet ensemble. On a alors :

\delta_B(f) = \sup\{f_b \mid b \in B\}
\epsilon_B(f) = \inf\{f_b \mid -b \in B \}

L'ouverture et la fermeture de fonctions s'obtiennent comme dans le cas ensembliste :

\gamma_B(f) = \delta_B\,\epsilon_B (f)
\phi_B(f) = \epsilon_B\,\delta_B (f)

L'ouverture et la fermeture morphologiques forment déjà des outils intéressants de filtrage d'images. Cependant, ils peuvent modifier le contour des objets, propriété qui peut être malvenue. Les opérateurs par reconstruction et d'une façon plus générale les nivellements, introduits plus loin, permettent de pallier cet inconvénient.

Epaississements et amincissements ne sont pas, généralement, des opérateurs croissants. Donc, leur application aux fonctions (en pratique, aux images à niveaux de gris) n'est pas triviale. Plusieurs extensions ont été proposées dans la littérature.

Exemple d'utilisation : détection de contours

La détection de contours représente une tâche importante en traitement d'images. La morphologie mathématique propose des outils non-linéaires de détection de contours, comme le gradient et le laplacien morphologiques.

Le gradient morphologique, aussi nommé gradient de Beucher du nom de son inventeur, est défini par :

\operatorname{grad}_B(X) = \delta_B(X) - \epsilon_B(X)

Il correspond, en quelque sorte, à la version morphologique du module du gradient euclidien. Le laplacien morphologique est construit de façon analogue :

\operatorname{Lap}_B(X) = \delta_B(X) + \epsilon_B(X) - 2I

I correspond à l'opérateur identité.

Opérateurs connexes, nivellements

Segmentation

Segmenter une image à niveaux de gris consiste à produire une partition du support de l'image, de manière à ce que les régions de la partition correspondent avec les objets présents dans l'image.

Les filtres morphologiques forment une aide précieuse dans un processus de segmentation. Surtout, les nivellements permettent de filtrer les images tout en préservant les contours importants, ce qui simplifie l'opération de segmentation elle-même. Occasionnellemen, un filtrage important peut de lui-même produire une partition pertinente. Mais l'outil morphologique le plus connu en segmentation d'images est la ligne de partage des eaux.

Il existe plusieurs algorithmes de segmentation par ligne de partage des eaux. L'idée de base consiste à simuler une inondation de l'image, vue comme un relief topographique où le niveau de gris correspond à l'altitude. Les frontières entre régions de la partition ont alors tendance à se placer sur les lignes de crête. Typiquement, on applique cet opérateur au gradient de l'image (norme du gradient euclidien, ou gradient morphologique) qu'on cherche à segmenter, et donc les frontières se placent de façon privilégiée sur les lignes de gradient élevé.

Plusieurs algorithmes de calcul de ligne de partage des eaux ont une complexité linéaire selon le nombre de pixels de l'image, ce qui les place parmi les méthodes de segmentation les plus rapides.

Ensembles aléatoires

Quantification

Notes

  1. La dilation est aussi fréquemment définie en utilisant le symétrique de l'élément structurant :
    \delta_B(X) = X \oplus \breve{B}
    On gagne alors la dualité entre érosion et dilatation, mais on perd l'adjonction. Il faut alors modifier les définitions de l'ouverture et de la fermeture morphologiques en conséquence. Quand l'élément structurant est symétrique, cette distinction n'a pas d'importance.

Bibliographie

En français

En anglais

Liens externes

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