Lissage d'images

Le lissage d'images est une opération importante en traitement d'images, utilisée pour atténuer un bruit qui corrompt l'information, le plus souvent avant un autre traitement.



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Le lissage d'images est une opération importante en traitement d'images, utilisée pour atténuer un bruit qui corrompt l'information, le plus souvent avant un autre traitement. Cette opération consiste le plus fréquemment à appliquer à l'image un filtre linéaire passe-bas numérique.

Généralités

Par comparaison avec des problèmes voisins, le traitement de l'image présente deux particularités. D'une part, il s'agit de signaux qui nécessitent des traitements dans un espace à deux dimensions. D'autre part, à la différence de ce qui se passe par exemple avec le son, la définition naturelle des filtres se situe dans l'espace plutôt que dans le domaine des fréquences.

En numérique le filtre est représenté mathématiquement par une matrice, un tableau de nombres. S'il est symétrique avec un nombre impair de termes, comme dans les exemples qui suivent, la convolution qui sert à traiter l'image s'effectue de manière particulièrement simple. Le centre du filtre étant positionné sur le pixel à traiter, on multiplie les cœfficients du filtre par les valeurs des pixels correspondants et on ajoute les résultats. Pour conserver le niveau d'origine du signal, la matrice est constituée par des entiers puis divisée par leur somme ; il s'agit par conséquent d'une moyenne peut-être pondérée.

Une transformation de Fourier adaptée au cas discret est utilisée pour décrire le filtre dans le domaine des fréquences. Pour les filtres symétriques la transformée est réelle mais elle peut comporter des changements de signe correspondant à des oppositions de phase susceptibles de dégrader le signal.

Pour accélérer le calcul il est souhaitable que le filtre bidimensionnel soit séparable en deux filtres unidimensionnels. La considération du cas unidimensionnel où la matrice carrée est remplacée par un vecteur sert à comprendre plus aisément la majeure partie des phénomènes.

Filtres unidimensionnels

Filtre rectangulaire

Le vecteur à (2N+1) composantes qui contient seulement des 1 est normalisé en les divisant par (2N+1). C'est une moyenne mobile ; on conçoit intuitivement qu'elle atténue les petites irrégularités du signal. Le filtre et la fonction de transfert correspondante sont donnés par

\mathbf{h} = \dfrac {1} {2N+1} [1\,1\,...\,1\,1]	\qquad H(u) = \dfrac {\sin(2N+1)u/2} {(2N+1) \sin u/2}

Cette fonction de transfert a une allure de sinusoïde amortie (filtre passe-bas) avec des changements de signe. Ceux-ci traduisent le fait que le signal de sortie est tantôt en phase, tantôt en opposition avec le signal d'entrée.

En détection de contours la méthode de Prewitt utilise un filtre rectangulaire à trois termes dans chacune des deux directions. Le niveau étant sans importance dans ce cas, le vecteur s'écrit tout simplement [1 1 1].

Filtre triangulaire

Pour résoudre le problème des phases, il suffit d'appliquer le filtre sur lui-même. Dans le domaine des fréquences, la convolution conduit simplement à élever au carré la fonction de transfert, ce qui supprime les changements de phase. Dans l'espace, les valeurs non nulles du résultat sont proportionnelles au nombre de points communs aux deux «peignes». Lors du déplacement de l'un comparé à l'autre, elles croissent par conséquent de 0 à 2N+1 pour retomber ensuite à 0 : c'est un filtre triangulaire qui privilégie les valeurs centrales.

\mathbf{h} = \dfrac {1} {4N+1} [1\,2\,...\,2N\,2N+1\,2N\,...\,2\,1] \qquad H(u) = (\dfrac {\sin(2N+1)u/2} {(2N+1) \sin u/2})ˆ2

Dans le filtre de Sobel ce filtre limité à trois termes remplace le précédent sous la forme [1 2 1].

Filtre gaussien

Selon les propriétés de la loi de Gauss, la fonction de transfert d'un tel filtre a la même forme que le filtre (précisément pour un filtre continu, approximativement pour un filtre numérique). Elle est par conséquent toujours positive.

A priori, il serait envisageable d'utiliser des tables de la loi de Gauss pour la discrétiser mais il est plus efficace de remarquer que des convolutions successives du filtre de base [1 1] amènent aux cœfficients du binôme de Newton, c'est-à-dire aux cœfficients de la loi binomiale. Selon le théorème de la limite centrale, cette loi représente une approximation de la loi de Gauss dont la précision croît avec le nombre de termes.

Filtres bidimensionnels

La convolution de filtres rectangulaires (resp. triangulaires) selon les deux axes de l'image conduit à un filtre uniforme (resp. pyramidal) représenté par une matrice carrée, les deux directions étant d'une certaine manière privilégiées.

Au contraire le filtre de Gauss à deux variables est isotrope. Il est utilisé surtout dans le filtre de Canny.

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