Égalisation d'histogramme

En traitement d'images, l'égalisation d'histogramme est une méthode d'ajustement du contraste d'une image numérique qui utilise l'histogramme.



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Traitement d'image

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En traitement d'images, l'égalisation d'histogramme est une méthode d'ajustement du contraste d'une image numérique qui utilise l'histogramme. Elle consiste à appliquer une transformation sur chaque pixel de l'image, et par conséquent d'obtenir une nouvelle image à partir d'une opération indépendante sur chacun des pixels. Cette transformation est construite à partir de l'histogramme cumulé de l'image de départ.

L'égalisation d'histogramme sert à mieux répartir les intensités sur la totalité de la plage de valeurs envisageables, en «étalant» l'histogramme. L'égalisation est intéressante pour les images dont la totalité, ou uniquement une partie, est de faible contraste (la totalité des pixels sont d'intensité proches). La méthode est rapide, facile d'implémentation, et totalement automatique (i. e. pas de réglages) [1].

Méthode

La transformation T permet d'égaliser l'histogramme et de perfectionner le contraste.

La méthode consiste à appliquer une transformation T indépendamment sur chaque pixel de l'image. Cette transformation est construite à partir de l'histogramme cumulé.

Pour une image {x} en niveaux de gris codée sur L niveaux, on définit nk le nombre d'occurences du niveau xk. La probabilité d'occurrence d'un pixel de niveau xk dans l'image est :

\ p_x(x_k) = p(x=x_k) = \frac{n_k}{n},\quad 0 \le i < L

avec n le nombre total de pixels de l'image, et px l'histogramme normalisé sur [0, 1].

La transformation T qui a chaque pixel de valeur xk de l'image d'origine associe une nouvelle valeur sk, sk = T (xk) est alors définie par[1]

T(x_k)=(L-1)\sum_{j=0}ˆ{k}p_x(x_j) , où \sum_{j=0}ˆ{k}p_x(x_j) est l'histogramme cumulé.

que on peut écrire aussi :

T(x_k)=\frac{(L-1)}{n}\sum_{j=0}ˆ{k}n_j

Justification théorique

Il est envisageable de donner une justification théorique à l'égalisation d'histogramme si on se place dans le cas continu. Pour une image {x} en niveaux de gris codée sur L niveaux, les intensités des pixels de l'image sont vues comme des variables aléatoires dans [0, L − 1]. On considère les densités de probabilités px (x) et ps (s) de r et s et la transformation T telle que s = T (x) avec T continue, différentiable et strictement croissante. On a alors :

p_s(s)=p_x(x) \left| \frac{dx}{ds} \right|

En choisissant T comme la fonction de répartition de la variable aléatoire x :

T(x)=(L-1)\int_{0}ˆx p_x(w)\, \mathrm dw

alors on peut montrer[1] que la densité de probabilité de s est uniforme et égale à

p_s(s)=\frac{1}{L-1}.

L'application de la transformation T permet par conséquent de transformer la densité de probabilité d'origine en une loi uniforme, ce qui est l'objectif recherché dans l'égalisation d'histogramme, puisque l'ensemble des niveaux seraient utilisés, et avec une égale probabilité. Cependant, en pratique, autrement dit avec des histogrammes discrets, il est rare d'obtenir des histogrammes plats, mais la méthode sert à mieux répartir les intensités sur la totalité de la plage de valeurs[1].

Images couleurs

Pour les images couleurs, il faut étendre la méthode d'égalisation en niveau de gris aux 3 composantes de couleur (ex. RVB). Il est envisageable de faire une égalisation indépendamment sur chaque composante, cependant ceci dégrade les couleurs, et n'est par conséquent pas utilisé en pratique[2]. La méthode utilisée est de réaliser l'égalisation seulement sur les intensités, sans toucher aux couleurs. Ceci est fait généralement dans l'espace colorimétrique HSV, où l'égalisation est réalisée sur la composante V seulement[2].

Exemple

image originale
Son histogramme (rouge) et l'histogramme cumulé (noir)
L'image après égalisation d'histogramme
L'histogramme (rouge) et l'histogramme cumulé (noir) après égalisation

Bibliographie

Notes et références

  1. Gonzalez, Woods (2008) , Intensity Transformations and Spatial Filtering p.  127
  2. Gonzalez, Woods (2008) , Color Image Processing p.  438

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