Échantillonnage

L'échantillonnage consiste à transformer un signal analogique en signal numérique, en capturant des valeurs à intervalle de temps régulier.



Catégories :

Théorie du signal

Définitions :

  • Processus de conversion des données analogiques en données numériques (source : pentax)
  • Définition : • L'échantillonage ou fréquence d'échantillonage correspond au nombre de relevés d'information lors de la... (source : forum.m4ng)

L'échantillonnage consiste à transformer un signal analogique (continu) en signal numérique (discret), en capturant des valeurs à intervalle de temps régulier (ici temps est à prendre au sens large et s'applique à tout signal). C'est une étape indispensable pour pouvoir enregistrer, analyser et traiter un signal par ordinateur, car ce dernier ne peut traiter que des nombres. On peut distinguer l'échantillonnage de la quantification, mais ce sont toutes deux des étapes nécessaires à la numérisation d'un signal.

La fréquence à laquelle les valeurs sont capturées est la fréquence d'échantillonnage, nommée aussi cadence d'échantillonnage, ou taux d'échantillonnage, exprimée en Hz. A titre d'exemple, un CD audio contient des données musicales échantillonnées à 44, 1 kHz (44 100 échantillons par seconde).

Problèmes liés à l'échantillonnage

Un signal analogique est par définition d'une précision illimitée, à la fois en temps et en valeur. Or l'échantillonnage, pour permettre une définition exacte en temps du signal pour le stocker numériquement, va diminuer ce signal à une suite de points discrets. Cela comporte deux conséquences différentes :

  1. seules les informations présentes sur les points de capture sont enregistrées ;
  2. tout le reste est perdu.

Intuitivement, on peut se rendre compte que, si la fréquence d'échantillonnage est particulièrement faible, les acquisitions seront particulièrement espacées et , par conséquent si le signal original comporte des détails entre deux positions de capture, ils ne seront pas enregistrés. C'est pour cela que la fréquence d'échantillonnage doit être bien choisie, suffisamment grande pour restituer correctement la totalité des informations transportées par le signal analogique, au moins les informations utiles, sans être excessive, ce qui gaspillerait de l'espace de stockage. Le théorème de Shannon affirme que l'ensemble des fréquences du signal inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage seraient correctement restituées. En pratique on constate que les fréquences harmoniques de la fréquence d'échantillonnage sont privilégiées et qu'il y a de nombreuses pertes.

Figure 2 : Echantillonnage

Les fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage introduisent un recouvrement spectral aussi nommé crénelage ou repliement. Pour s'en convaincre, essayons d'imaginer un signal analogique qui comporterait des impulsions particulièrement courtes et particulièrement grandes, comme les craquements sur un disque vinyle. Ces impulsions représentent un ajout de hautes fréquences au signal de base. Si le point de capture tombe sur une portion saine, l'impulsion est ignorée, mais si le point de capture tombe au milieu de l'impulsion, c'est la valeur à cet lieu précis qui sera enregistrée, introduisant par conséquent un artéfact lors de l'enregistrement, car cette valeur sera reconnue comme la valeur moyenne sur son intervalle.

Afin d'éviter ce genre de désagréments, on effectue le plus souvent un filtrage fréquentiel passe-bas avant l'opération d'échantillonnage elle-même, qu'on nomme filtre anti-repliement (anti aliasing filter en anglais) dont la fréquence de coupure sera théoriquement égale à la plus haute fréquence correctement restituée, soit la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Dans la pratique, il en est tout autrement. Il est évidemment indispensable que les fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage soit fortement atténuées (pour un bon filtre, -50 dB). Mais le gabarit du filtre anti-repliement (purement analogique), aura une bande dite d'atténuation plus ou moins large selon l'ordre du filtre. la figure 2 illustre le problème. La bande d'atténuation est comprise entre 20 kHZ et 22, 05 kHz. Le problème est qu'un filtre linéaire analogique avec un ordre supérieur à 8 est complexe à mettre en œuvre (Les filtres à capacités commutées sont plus simples). Il est plus simple d'augmenter un peu la fréquence d'échantillonnage.

Figure 2 : Exemple d'un filtre anti-repliement


Le filtre peut aussi être un passe-bande, par exemple si on souhaite échantillonner une source de radio FM, et dans ce cas la fréquence d'échantillonnage devra être le double de la largeur de bande, et non la fréquence de coupure, de ce filtre.

Si on prend le cas spécifique du CD dont la fréquence d'échantillonnage a été fixée à 44, 1 kHz, le théorème de Shannon affirme qu'il ne faut pas dépasser une fréquence enregistrée de 22 050 Hz. En réalité, quand la fréquence échantillonnée se rapproche de très près de la fréquence d'échantillonnage, on ne peut éviter un effet d'interférence générant des sons parasites indésirables. Pour les éviter, on a recours à plusieurs méthodes. Le plus simple consiste à couper délibérément les fréquences dépassant 20 kHz, au lieu de les couper à 22, avant échantillonnage, à l'aide par exemple d'un filtre anticrènelage. On évite ainsi la zone «dangereuse». Une autre méthode consiste à «corriger» les données en temps réel pour les adapter à la fréquence d'échantillonnage (par exemple le Super Bit Mapping mis au point par Sony).

Dans de nombreux cas, un filtrage est naturellement effectué lors de l'acquisition, de par l'imperfection des dispositifs de capture. Prenons l'exemple d'un capteur CCD : son rôle est de transformer la lumière qu'il reçoit en une valeur d'intensité lumineuse. Il ne reçoit pas un point illimitément petit de lumière qui correspondrait mathématiquement à un point discret et physiquement à un photon, c'est physiquement impossible, mais il reçoit une zone de lumière plus ou moins grande, et ses propriétés physiques font qu'une valeur analogique d'intensité est donnée en sortie, qui correspond à une sorte de moyenne pondérée de la totalité des points de lumière reçus. Il peut particulièrement bien prendre davantage en compte le centre de sa zone de réception que la périphérie, ou alors l'inverse, la sortie en sera d'autant changée. Cependant, la majorité des capteurs agiront d'une manière proche d'un filtre passe-bas, évitant l'obligation de filtrer le signal analogique.

Mathématiques de l'échantillonnage

À introduire : la relation du théorème de Shannon avec la largeur de bande et non la plus haute fréquence.

Pour mieux comprendre l'origine des problèmes de l'échantillonnage, un outil devient indispensable : il s'agit de la transformée de Fourier. Elle transforme un signal de l'espace temporel à l'espace fréquentiel. Dans ce dernier, une valeur correspond non plus à une valeur instantanée du signal au cours du temps mais à une valeur de fréquence, ce qui correspond à la présence d'une certaine fréquence dans le signal sous la forme d'une sinusoïde. De la transformée de Fourier d'un signal, on peut déduire le spectre, qui correspond véritablement à la décomposition d'un signal en ses bandes de fréquences, comme un prisme décompose la lumière en son spectre de couleurs.

La transformation d'un signal continu en une suite de points discrets introduit une périodicité du spectre. Pour un taux d'échantillonnage Δt (le temps écoulé entre deux échantillons, soit l'inverse de la fréquence d'échantillonnage), la période du spectre est  \frac {1}{\Delta t} .

Appelons la plus grande fréquence du signal F. Comme le spectre comporte tout autant de fréquences positives que négatives, la période indispensable pour restituer correctement le signal est 2F. La période du spectre doit par conséquent être supérieure à celle-ci. Si on nomme f la fréquence d'échantillonnage : <img class=f > 2F. La fréquence d'échantillonnage doit par conséquent être plus du double de la fréquence maximale du signal pour le restituer correctement. Que se passe-t-il si f

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