Compression d'impulsion

La compression d'impulsion est une technique de traitement du signal utilisée essentiellement dans le domaine du radar, du sonar...



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Acoustique - Traitement du signal - Modulation du signal

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  • Compression impulsion, Automodulation, Modulation phase, . Impulsion optique, Impulsion ultracourte, ..... elle exprime l'automodulation en phase du signal... (source : springerlink)
  • Le traitement du signal peut alors s'appliquer simultanément aux deux... deux fréquences différentes; il utilise de plus la compression d'impulsion.... (source : radartutorial)

La compression d'impulsion (en anglais, pulse compression) est une technique de traitement du signal utilisée essentiellement dans le domaine du radar, du sonar et en échographie afin d'augmenter la résolution en distance de la mesure mais aussi le rapport signal sur bruit, par modulation du signal émis[1].

Dans la suite de notre développement, l'application sera le radar mais le lecteur pourra facilement généraliser aux autres applications, la théorie restant la même.

Impulsion simple

Forme du signal

Le signal le plus simple que peut émettre un radar à impulsions est un train de signaux sinusoïdaux, d'amplitude A et de fréquence f0, tronqué par une fonction porte de longueur T, se répétant semblablement à eux-mêmes à une certaine période qui nous intéresse peu ici. On considère ici une seule impulsion s. A supposer que cette impulsion est émise à la date t = 0, le signal s'écrit analytiquement de la manière suivante, en notation complexe :

s(t) = \left\{ \begin{array}{cl} A eˆ{i2\pi f_0 t} & \mbox{ si } 0 \leq t < T \\ 0 & \mbox{sinon}\end{array}\right.

Résolution en distance

Déterminons la résolution en distance qu'on peut obtenir avec ce type de signal. Le signal qui revient vers le radar, noté r (t) est une copie retardée et atténuée du signal émis (en réalité elle peut aussi être un peu déphasée par effet Doppler, mais on laisse cela de côté pour l'instant). Il y a également du bruit sur les deux voies réelles et imaginaires, qu'on va prendre comme étant blanc et gaussien (ce qui est le plus souvent vrai dans la réalité) ; on note B (t) ce bruit. Pour détecter le signal reçu, on va utiliser le filtrage adapté, qui optimise le rapport de signal à bruit quand on veut détecter un signal connu dans du bruit blanc gaussien.

Concrètement, on calcule l'intercorrélation du signal reçu avec le signal émis (ce qui revient à la convolution avec le signal conjugué et temporellement retourné dans le temps). Cette opération peut se faire aussi de manière électronique. Soit < s, r > (t) cette intercorrélation. On a :

<img class=tr et est atténué d'un facteur K, on a :

r(t) = \left\{ \begin{array}{cl} K eˆ{i2\pi f_0. (t-t_r)} +B(t) & \mbox{ si } t_r \leq t < t_r+T \\ B(t) & \mbox{sinon}\end{array}\right.

Connaissant l'expression du signal émis, il vient après un calcul particulièrement simple :

<img class=B' (t) , résultat de l'intercorrélation du bruit avec le signal émis, reste un bruit blanc gaussien de même variance que B (t) car il n'est pas corrélé avec le signal émis. La fonction Λ est la fonction triangle, valant 0 sur ]-\infty,-1/2]\cup [1/2,+\infty[, croissant linéairement de -1/2 à 0 où elle atteint la valeur 1, et décroissant linéairement de 0 à 1/2 pour valoir de nouveau 0. Les figures au bout de ce paragraphe montrent un exemple pour un signal émis réel en sinus, de durée T = 1 seconde, d'amplitude unité, et de fréquence f0 = 10 hertz (en rouge). On laisse figurer deux échos (en bleu) décalés de 3 et 5 secondes, respectivement, et d'amplitudes 0, 5 et 0, 3. L'autocorrélation du signal émis a bien une enveloppe en triangle (vu que le signal est réel, l'intercorrélation est pondérée par un facteur 1/2 supplémentaire).

Si deux impulsions reviennent, l'intercorrélation vaudra la somme des deux intercorélations des deux signaux élémentaires. Pour reconnaître l'enveloppe "triangle" d'une impulsion de l'autre enveloppe "triangle", on voit que les temps d'arrivée de ceux-ci doivent être scindés d'au moins T pour pouvoir distinguer le sommet de l'un du sommet de l'autre. Si le temps d'arrivée est scindé de moins de T, les deux triangles seront combinés et impossibles à séparer.

Sachant que la distance parcourue de l'onde durant T est c. T, mais que cette distance est un trajet aller-retour, on en conclut que :

Résultat 1
La résolution en distance atteignable avec une impulsion sinusoïdale est crac{T}{2}T est la durée de l'impulsion et c la célérité de l'onde.

Conclusion logique : pour augmenter la résolution, il faut diminuer la durée de l'impulsion.


Démonstration (impulsion simple)  : signal émis en rouge (fréquence 10 hertz, amplitude 1, durée 1 seconde) et deux échos atténués (en bleu).
Avant filtrage adapté Après filtrage adapté
Impulsion simple et cibles écartées...
... les échos sont distinguables.
Impulsion simple et cibles trop proches...
... les échos sont confondus.

Énergie à apporter pour émettre ce signal

La puissance instantanée du signal émis est égale à P (t) = | s | 2 (t) . L'énergie apportée est égale à :

E = \int_0ˆT P(t)dt = Aˆ2.T

D'une manière identique, l'énergie du signal reçu vaut Er = K2A2T. Si σ est l'écart-type de l'amplitude du bruit, le rapport signal à bruit à la réception est égal à :

RSB = \frac{E_r}{\sigma} = \frac{Kˆ2Aˆ2T}{\sigma}

On voit que le rapport signal à bruit augmente avec la longueur de l'impulsion, tous autres paramètres restant égaux d'autre part. La conclusion est que pour que le signal reçu puisse rester exploitable, l'impulsion émise doit rester suffisamment longue, ce qui va à l'encontre du pouvoir de résolution.

Compression d'impulsion par modulation linéaire de fréquence

Principe général

Comment avoir une impulsion longue (pour conserver une bonne énergie à la réception) sans pour tout autant avoir une résolution trop mauvaise ? Tel est l'objectif de la compression d'impulsion. Son principe est le suivant :

  • on génère un signal dont le support temporel est assez long pour ménager le budget énergie
  • on forge ce signal de telle manière à ce qu'après filtrage adapté, la largeur de l'intercorrélation entre le signal reçu et le signal émis est inférieure à celle obtenue avec la simple modulation sinusoïdale, comme exposé ci-dessus.

Dans les applications radar ou sonar, le chirp linéaire est fréquemment le signal utilisé pour réaliser la compression d'impulsion. L'impulsion étant de durée finie, l'amplitude est une fonction porte. Si le signal est de durée T, commence à t = 0 et balaie la bande Δf centrée sur f0, ce signal s'écrit :

s_c(t) = \left\{ \begin{array}{cl} A eˆ{i2\pi \left (f_0+\frac{\Delta f}{2T}.t-\frac{\Delta f}{2}\right) t} & \mbox{ si } 0 \leq t < T \\ 0 & \mbox{sinon}\end{array}\right.

Intercorrélation entre le signal émis et le signal reçu

Comme pour l'impulsion "simple", calculons désormais la fonction d'intercorrélation entre le signal émis et le signal reçu. Pour simplifier le calcul, on considère de plus que le chirp s'écrit non pas comme ci-dessus, mais sous la forme simplifiée suivante (le résultat final restera le même)  :

s_{c'}(t) = \left\{ \begin{array}{cl} A eˆ{i2\pi \left (f_0+\frac{\Delta f}{2T}.t\right) t} & \mbox{ si } -T/2 \leq t < T/2 \\ 0 & \mbox{sinon}\end{array}\right.

Dans la mesure où cette intercorrélation est égale, à une translation ainsi qu'à une atténuation d'un facteur K près, à l'autocorrélation de sc', c'est celle-ci qu'on considère :

<img class=[2] que la fonction d'autocorrélation de sc' vaut :

<img class=sc' est atteint en 0 et autour de ce point, elle se comporte comme le terme en sinus cardinal. La largeur temporelle de de ce sinus cardinal à -3 dB est plus ou moins égale à T'= \frac{1}{\Delta f}. Tout se passe par conséquent comme si après compression d'impulsion, on avait la résolution d'une impulsion simple de durée T' qui, pour les choix courants de Δf, est plus petite que T, ce qui justifie le nom de compression d'impulsion.

Étant donné que le sinus cardinal peut avoir des lobes secondaires importants, il est habituel d'apodiser le signal par convolution du résultat du filtrage adapté avec une fenêtre de type Hamming ou Hann (en pratique, cette étape peut se faire en même temps que le filtrage adapté en multipliant le chirp de référence par la fenêtre avant corrélation). Le résultat de l'apodisation se traduit par une perte de l'amplitude maximale du signal détecté mais les lobes secondaires sont bien plus atténués.

Résultat 2
La résolution en distance atteignable avec un chirp linéaire modulé sur une bande Δf est : \frac{c}{2\Delta f}c la célérité de l'onde
Définition
Le rapport T / T'= TΔf est le rapport de compression, il est le plus souvent supérieur à 1 (de l'ordre de 20 à 30).
Démonstration (impulsion chirpée)  : signal émis en rouge (fréquence porteuse 10 hertz, modulation sur 16 hertz, amplitude 1, durée 1 seconde) et deux échos atténués (en bleu).
Avant filtrage adapté
Après filtrage adapté : les échos sont plus courts.

Augmentation du rapport signal à bruit par compression d'impulsion

L'énergie du signal n'a pas varié au cours de la compression d'impulsion. Cependant, elle se trouve désormais située dans le pic principal du sinus cardinal, qui a une largeur T'\approx \frac{1}{\Delta f}. Si P est la puissance du signal avant compression et P' la puissance du signal après compression, on a donc :

P\times T = P'\times T'

ce qui donne :

P'= P\times T/T'

D'autre part, le bruit et le signal émis n'étant pas corrélés, la puissance du bruit ne change pas par filtrage adapté. Donc :

Résultat 3
La compression d'impulsion permet d'augmenter le gain en puissance après filtrage d'un rapport égal au taux de compression, T. Δf
Démonstration : même signaux que plus haut, plus bruit additif blanc gaussien (σ = 0.5)
Avant filtrage adapté : le signal est noyé dans le bruit
Après filtrage adapté : les échos sont toujours visibles.

Compression d'impulsion par codage de phase

Il n'est pas indispensable de moduler le signal émis par un chirp, d'autres formes de modulation peuvent être utilisées. On utilise fréquemment la modulation de phase ; dans ce cas, l'impulsion est divisée en N blocs de durée T/N pour lequel on choisit la phase à l'origine selon un code préétabli. A titre d'exemple, il est envisageable d'affecter à certain blocs un déphasage de zéro (ce qui revient à conserver ces blocs tels quels) et de déphaser les autres de π (ce qui revient à changer leur signe). Le choix précis de la séquence des déphasages pris dans {0, π} se fait selon une technique nommée codage de Barker. Il est aussi envisageable de coder le signal sur un alphabet de plus de deux phases (codage polyphase). Comme dans le cas du chirp linéaire, il suffit de réaliser une corrélation entre le signal émis et le signal reçu pour avoir le signal compressé.

Les avantages[3] de cette méthode sont la simplicité de mise en œuvre (comme indiqué plus haut, un déphasage de π est un simple changement de signe), mais le taux de compression est plus faible que pour un chirp et la compression peut être sensible à un éventuel décalage de fréquence des signaux reçus par effet Doppler si ce décalage est plus grand que 1/T.

Notes

  1. J. R. Klauder, A. C, Price, S. Darlington and W. J. Albersheim, ‘The Theory and Design of Chirp Radars, ” Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).
  2. Achim Hein, Processing of SAR Data : Fundamentals, Signal Processing, Interferometry, Springer, 2004 (ISBN 3-540-05043-4) , p.  38 à 44.
    Démonstration particulièrement rigoureuse de l'autocorrélation du signal chirp et de ses propriétés. Noter que l'auteur divise son autocorrélation par deux, ce que nous ne faisons pas ici.
  3. J. -P. Hardange, P. Lacomme, J. -C. Marchais, Radars aéroportés et spatiaux, Masson, Paris, 1995 (ISBN 2-225-84802-5) , p.  104

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