Cepstre

Le cepstre d'un signal x est une transformation de ce signal du domaine temporel vers un autre domaine analogue au domaine temporel.



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Analyse numérique - Transformée du signal

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  • ... Ces cœfficients deviennent négligeables à partir d'une certaines fréquence N. Le cepstre est une représentation de l'information spectrale... (source : themarvinproject.free)
  • Pour utiliser la transformée de Fourier discr`ete il faut un signal.... premiers cœfficients cepstraux pour éliminer la contribution de la. source).... le cepstre est , au signe pr`es de la TF, la TF du spectre par conséquent le liftrage... (source : loria)

Le cepstre (prononcé [kɛpstr]) d'un signal x (t) est une transformation de ce signal du domaine temporel vers un autre domaine analogue au domaine temporel. Pour rappeler le fait qu'on effectue une transformation inverse à partir du domaine fréquentiel, les appellations des notions sont des anagrammes de celles utilisées en fréquentiel. Ainsi le spectre devient le cepstre, la fréquence une quéfrence, un filtrage un liftrage…

Le cepstre a dans un premier temps été défini en 1963 comme étant le résultat de la transformée de Fourier appliquée au logarithme naturel de la transformée de Fourier du signal.

\mathcal{C}(\tau) = C(x(t)) = F(ln(F(x(t))))

Néanmoins, une autre définition apparue depuis est la transformée de Fourier inverse appliquée au logarithme de la transformée de Fourier du signal.

\mathcal{C}(\tau) = C(x(t)) = Fˆ{-1}(ln(F(x(t))))

Cette seconde définition, quoique contestée (à discuter), est la définition la plus commune, ou alors l'unique utilisée, parmi chercheurs et professionnels du domaine du traitement du signal.

Cepstre complexe et cepstre réel

Le cepstre complexe utilise le logarithme appliqué à la valeur complexe de la transformée de Fourier. Le cepstre complexe contient par conséquent à la fois l'information d'amplitude et de phase du spectre du signal, ce qui va permettre surtout de reconstruire le signal de départ.

Le cepstre réel, lui, n'utilise que l'amplitude du spectre de ce signal, il perd par conséquent la partie de l'information contenue dans la phase et on ne peut par conséquent pas reconstruire idéalement le signal de départ à partir de ce cepstre.

La différence entre la définition de 1963 et celle d'aujourd'hui vient peut-être de là, la définition de 1963 étant au départ celle du cepstre réel, l'utilisation d'une transformée inverse serait simplement due à la généralisation aux valeurs complexes.

Autres méthodes

Le calcul du cepstre en appliquant l'une des formules ci-dessus est laborieux. D'autres méthodes ont par conséquent été développées pour accélérer ce processus.

LPCC

Le calcul des cœfficients spectraux peut se faire à partir de l'analyse LPC du signal. Ces cœfficients sont nommés les LPCC (linear prediction cepstral cœfficients).

Considérons les p + 1 cœfficients retournés par une analyse LPC :

 a_0,\,a_1,...,\,a_p

Les cœfficients cepstraux de 1 à p peuvent être calculés par la formule

 c_i = a_i + \sum_{k=1}ˆ{i-1} \frac{k}{i} \cdot c_k\cdot a_{i-k} ; i = 1,...,\,p

les cœfficients cepstraux de p + 1 jusqu'au degré Nc désiré peuvent être calculés en utilisant

 c_i = \sum_{k=i-p}ˆ{i-1} \frac{k}{i} \cdot c_k\cdot a_{i-k} ; i = p,...,\,N_c

Il a été démontré que ces cœfficients sont équivalents au cepstre complexe.

MFCC

Les MFCC ou Mel-Frequency Cepstral Cœfficients sont des cœfficients cepstraux calculés par une transformée en cosinus discrète appliquée au spectre de puissance d'un signal. Les bandes de fréquence de ce spectre sont espacées logarithmiquement selon l'échelle de Mel.

Calcul

  1. Calcul de la transformée de Fourier de la trame à analyser
  2. Pondération du spectre d'amplitude (ou de puissance selon les cas) par un banc de filtres triangulaires espacés selon l'échelle de Mel
  3. Calcul de la transformée en cosinus discrète du log-mel-spectre

Les cœfficients résultants de cette DCT sont les MFCCs.

Applications

Le cepstre d'un signal est utilisé par exemple en traitement de la parole et en reconnaissance vocale. Aussi en maintenance vibratoire des machines industrielles.

Vocabulaire

Référence

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